Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko przekształcać wyrażenia algebraiczne bez konieczności każdorazowego wykonywania pełnego mnożenia nawiasów. Najczęściej uczniowie spotykają się z wyrażeniami zawierającymi a², b², sumę i różnicę dwóch liczb lub wyrażeń. Jakie są wzory skróconego mnożenia a2 i b2? Najważniejsze to kwadrat sumy, kwadrat różnicy oraz różnica kwadratów. Warto je nie tylko zapamiętać, ale przede wszystkim zrozumieć, ponieważ wtedy znacznie trudniej pomylić znak lub pominąć jeden ze składników.
Jakie są wzory skróconego mnożenia a2 i b2?
Trzy podstawowe wzory skróconego mnożenia związane z drugą potęgą wyglądają następująco:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
a² – b² = (a – b)(a + b)
Pierwszy wzór nazywamy kwadratem sumy, drugi kwadratem różnicy, a trzeci różnicą kwadratów.
Najważniejsze jest zauważenie, że:
(a + b)² nie jest równe a² + b².
Po podniesieniu sumy do kwadratu pojawia się dodatkowy składnik 2ab. Pominięcie go jest jednym z najczęstszych błędów podczas rozwiązywania zadań.
Jak działa wzór na kwadrat sumy?
Kwadrat sumy zapisujemy w następujący sposób:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Można łatwo sprawdzić, skąd bierze się ten wzór. Druga potęga oznacza pomnożenie wyrażenia przez samo siebie:
(a + b)² = (a + b)(a + b)
Po wykonaniu mnożenia otrzymujemy:
a² + ab + ab + b²
Dwa środkowe składniki są takie same, dlatego można je połączyć:
a² + 2ab + b²
Właśnie dlatego we wzorze pojawia się składnik 2ab.
Przykładowo:
(x + 4)² = x² + 8x + 16
Pierwszy składnik to x², środkowy powstaje z działania 2 × x × 4, czyli 8x, natomiast ostatni to 4², czyli 16.
Jak działa wzór na kwadrat różnicy?
Kwadrat różnicy wygląda bardzo podobnie:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Różnica polega przede wszystkim na znaku przed środkowym składnikiem.
Możemy to sprawdzić poprzez zwykłe mnożenie:
(a – b)(a – b)
Po wymnożeniu nawiasów otrzymujemy:
a² – ab – ab + b²
czyli:
a² – 2ab + b²
Przykładowo:
(x – 5)² = x² – 10x + 25
Warto zwrócić uwagę, że ostatni składnik nadal jest dodatni. Wynika to z faktu, że iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.
Co to jest różnica kwadratów?
Trzeci bardzo ważny wzór wygląda następująco:
a² – b² = (a – b)(a + b)
Pozwala zamienić różnicę dwóch kwadratów na iloczyn dwóch nawiasów.
Przykładowo mamy wyrażenie:
x² – 25
Ponieważ 25 = 5², możemy zapisać:
x² – 5²
Następnie stosujemy wzór:
x² – 25 = (x – 5)(x + 5)
Różnica kwadratów jest szczególnie przydatna podczas rozkładania wyrażeń na czynniki, upraszczania ułamków algebraicznych oraz rozwiązywania równań.
Jak zapamiętać podstawowe wzory skróconego mnożenia?
Najłatwiej zauważyć pewien schemat. Kwadrat sumy wygląda tak:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Kwadrat różnicy:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
W obu przypadkach pierwszy i ostatni składnik pozostają dodatnie. Zmienia się jedynie znak przed 2ab.
Różnica kwadratów wygląda natomiast inaczej:
a² – b² = (a – b)(a + b)
Powstają dwa nawiasy. Jeden zawiera różnicę, a drugi sumę tych samych elementów.
Dlaczego (a + b)² nie jest równe a² + b²?
To bardzo częsty błąd. Wystarczy sprawdzić go na prostych liczbach.
Weźmy:
(2 + 3)²
Najpierw dodajemy liczby:
5² = 25
Gdyby błędny zapis a² + b² był prawdziwy, otrzymalibyśmy:
2² + 3² = 4 + 9 = 13
Widzimy więc, że 25 nie jest równe 13.
Brakujące 12 pochodzi właśnie ze składnika:
2ab = 2 × 2 × 3 = 12
Dlatego składnika 2ab nie wolno pomijać.
Przykład kwadratu sumy
Rozwińmy wyrażenie:
(2x + 3)²
Korzystamy ze wzoru:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
W tym przypadku a = 2x, natomiast b = 3.
Otrzymujemy:
(2x)² + 2 × 2x × 3 + 3²
Po wykonaniu działań:
4x² + 12x + 9
Ważne jest podniesienie do kwadratu całego składnika 2x. Dlatego (2x)² daje 4x², a nie 2x².
Przykład kwadratu różnicy
Rozważmy:
(3x – 4)²
Korzystamy ze wzoru:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Podstawiamy a = 3x oraz b = 4.
Otrzymujemy:
(3x)² – 2 × 3x × 4 + 4²
czyli:
9x² – 24x + 16
Także tutaj ostatni składnik jest dodatni.
Jak rozpoznać różnicę kwadratów?
Wyrażenie musi mieć postać:
a² – b²
Oznacza to, że znajdują się w nim dwa składniki będące kwadratami, a pomiędzy nimi występuje znak minus.
Przykładowo:
x² – 49
to różnica kwadratów, ponieważ 49 = 7².
Możemy więc zapisać:
x² – 49 = (x – 7)(x + 7)
Podobnie:
4x² – 9
możemy potraktować jako:
(2x)² – 3²
Dlatego:
4x² – 9 = (2x – 3)(2x + 3)
Czy suma kwadratów ma podobny wzór?
W zbiorze liczb rzeczywistych suma:
a² + b²
nie ma takiego samego prostego rozkładu jak różnica kwadratów.
Nie wolno zapisywać:
a² + b² = (a – b)(a + b)
ponieważ prawa strona daje:
a² – b²
Dlatego podczas rozwiązywania zadań trzeba bardzo dokładnie zwracać uwagę na znak znajdujący się pomiędzy kwadratami.
Różnica kwadratów ma prosty wzór, natomiast suma kwadratów nie rozkłada się w ten sam sposób w liczbach rzeczywistych.
Jak rozpoznać wzór skróconego mnożenia w zadaniu?
Czasami wzór jest zapisany w rozwiniętej postaci i trzeba rozpoznać go samodzielnie.
Przykładowo:
x² + 10x + 25
Na początku może wyglądać jak zwykły trójmian. Warto jednak zauważyć, że:
25 = 5²
oraz:
10x = 2 × x × 5
Dlatego całe wyrażenie można zapisać jako:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
Umiejętność rozpoznawania wzorów w odwrotnym kierunku jest bardzo przydatna podczas późniejszej nauki algebry.
Jak rozpoznać kwadrat różnicy?
Spójrzmy na wyrażenie:
x² – 12x + 36
Pierwszy składnik jest kwadratem x, natomiast:
36 = 6²
Sprawdzamy środkowy składnik:
-2 × x × 6 = -12x
Wszystkie elementy pasują do wzoru, dlatego:
x² – 12x + 36 = (x – 6)²
W takich zadaniach należy zawsze sprawdzić wszystkie trzy składniki. Sam fakt, że pierwszy i ostatni są kwadratami, nie wystarcza.
Wzory skróconego mnożenia z liczbami
Wzory można wykorzystywać również do szybkiego wykonywania działań na liczbach.
Załóżmy, że chcemy obliczyć:
51²
Możemy zapisać 51 jako:
50 + 1
Następnie:
51² = (50 + 1)²
Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy:
50² + 2 × 50 × 1 + 1²
Otrzymujemy:
2500 + 100 + 1 = 2601
Takie zastosowanie pokazuje, że wzory skróconego mnożenia mogą pomagać również w rachunkach wykonywanych w pamięci.
Jak szybko obliczyć 99²?
Liczbę 99 można zapisać jako:
100 – 1
Następnie:
99² = (100 – 1)²
Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy:
100² – 2 × 100 × 1 + 1²
Otrzymujemy:
10000 – 200 + 1 = 9801
W wielu sytuacjach takie obliczenie jest szybsze od klasycznego mnożenia 99 × 99.
Jakie są szalone wzory skróconego mnożenia?
Określenie szalone wzory skróconego mnożenia nie jest oficjalnym terminem matematycznym. Bywa używane żartobliwie w odniesieniu do bardziej rozbudowanych wzorów, szczególnie związanych z trzecią potęgą.
Do najważniejszych należą:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Istnieje również suma sześcianów:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
oraz różnica sześcianów:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Wzory te wyglądają na bardziej skomplikowane, ale również mają regularną strukturę, którą można stosunkowo łatwo zapamiętać.
Jak działa wzór na sześcian sumy?
Wzór wygląda następująco:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Przykładowo:
(x + 2)³
rozwijamy jako:
x³ + 3x² × 2 + 3x × 2² + 2³
Po wykonaniu działań otrzymujemy:
x³ + 6x² + 12x + 8
Współczynniki 1, 3, 3, 1 tworzą charakterystyczny układ, który pojawia się także w trójkącie Pascala.
Jak działa różnica sześcianów?
Różnica sześcianów wygląda tak:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Przykładowo:
x³ – 8
Ponieważ 8 = 2³, możemy zapisać:
x³ – 2³
Następnie:
x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4)
Ten wzór przydaje się między innymi podczas rozkładania wielomianów na czynniki.
Jak działa suma sześcianów?
Dla sumy obowiązuje wzór:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
Przykładowo:
x³ + 27
Ponieważ 27 = 3³, możemy zapisać:
x³ + 3³
Następnie:
x³ + 27 = (x + 3)(x² – 3x + 9)
Warto zwrócić uwagę na znak minus przed środkowym składnikiem w drugim nawiasie.
Jak poprawnie stosować wzory skróconego mnożenia?
Jednym z najczęstszych błędów jest zapis:
(a + b)² = a² + b²
Poprawnie powinno być:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Drugim częstym błędem jest wpisanie minusa przed ostatnim składnikiem w kwadracie różnicy. Poprawny zapis wygląda tak:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
a nie:
a² – 2ab – b²
Kolejnym problemem jest nieprawidłowe potęgowanie współczynników. Jeżeli mamy:
(3x)²
otrzymujemy:
9x²
ponieważ do kwadratu podnosimy zarówno liczbę 3, jak i x.
Jak nauczyć się wzorów skróconego mnożenia?
Najlepiej nie zaczynać od mechanicznego zapamiętywania wszystkich znaków. Na początku warto kilka razy samodzielnie wymnożyć nawiasy.
Jeżeli rozumiemy, że:
(a + b)² = (a + b)(a + b)
znacznie łatwiej odtworzyć właściwy wzór nawet wtedy, gdy chwilowo go zapomnimy.
Dobrym ćwiczeniem jest wykonywanie działań w obie strony. Można najpierw rozwinąć:
(x + 3)²
i otrzymać:
x² + 6x + 9
Następnie warto nauczyć się rozpoznawać, że wyrażenie x² + 6x + 9 można ponownie zapisać jako (x + 3)².
Po wykonaniu kilkunastu podobnych przykładów schemat staje się znacznie łatwiejszy do zauważenia.
Wzory skróconego mnożenia – prosta ściąga
Najważniejsze wzory dotyczące drugiej potęgi to:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
a² – b² = (a – b)(a + b)
W przypadku trzeciej potęgi warto znać:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Na początku najlepiej bardzo dobrze opanować trzy wzory związane z a² i b². Kwadrat sumy, kwadrat różnicy oraz różnica kwadratów pojawiają się w ogromnej liczbie zadań. Gdy ich konstrukcja stanie się intuicyjna, znacznie łatwiejsze będą również bardziej rozbudowane przekształcenia algebraiczne.
Źródło: www.offon.pl
